Stackoverflow：计算两个整数的最小公倍数的最有效方法是什么？
2023-01-11 11:10:27来源：今日头条
嘿，小傅哥怎么突然讲到最大公约数了？
【资料图】
这么想你肯定是没有好好阅读前面章节中小傅哥讲到的RSA算法，对于与欧拉结果计算的互为质数的公钥e，其实就需要使用到辗转相除法来计算出最大公约数。
放心，你所有写的代码，都是对数学逻辑的具体实现，无非是难易不同罢了。所以如果你真的想学好编程思维而不只是CRUD，那就要把数据结构、算法逻辑等根基打牢。
二、短除法既然都说到这了，那你还记得怎么计算最大公约数吗，死鬼？
以上这种方式就是我们在上学阶段学习的，这种计算方式叫做短除法。
短除法：是算术中除法的算法，将除法转换成一连串的运算。短除法是由长除法简化而来，当中会用到心算，因此除数较小的除法比较适用短除法。对大部分的人而言，若除以12或12以下的数，可以用记忆中乘法表的内容，用心算来进行短除法。也有些人可以处理除数更大的短除法。—— 来自维基百科
三、欧几里德算法短除法能解决计算最大公约数的问题，但放到程序编写中总是很别扭，总不能一个个数字去试算，这就显得很闹挺。其实除了短除法还有一种是计算公约数的办法，叫做欧几里德算法。
欧几里德算法：是计算两个整数（数字）的最大公约数【GCD(Greatest Common Divisor)】的有效方法，即能将它们整除而无余数的最大数。它以古希腊数学家 欧几里得的名字命名，欧几里德在他的几何原本（约公元前 300 年）中首次描述了它。它是算法的示例，是根据明确定义的规则执行计算的分步过程，并且是常用的最古老的算法之一。它可以用来减少分数到他们的最简单的形式，并且是许多其他数论和密码计算的一部分。—— 来自维基百科
GCD，代表了两个数字的最大公约数，GCD(X,Y) = Z，那么就表示 X 和 Y 的最大公约数是 Z。由欧几里德算法给出 GCD(X,Y) = GCD(Y,XmodY) —— mod 表示求模计算余数。
其实简单来说就是，X和Y的公约数是Z，那么Y和Z的公约数也是Z。24和18的最大公约数是6，那么18和6的公约数也是6。嘿，就这么一个事。但就因为有了这一样一条推论，让编程代码变得优雅舒服，只需要不断地将X、Y两数作差，就能计算最大公约数。
这让小傅哥想起，多年前上学时候，我也给出过一条推论；”任意一组所能构成等差数列的三个数字，所能组合出来的一个三位数，都能被3整除。“ 例如：等差数列16、31、46组合成三位数463116或者461631都能被3整除。
四、辗转相除法代码实现欧几里德算法 = 辗转相除法法：https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
在辗转相除法的实现中，计算最大公约数的方式，就是使用一个数字减去另外一个数字，直到两个数字相同或者有其中一个数字为0，那么最后不为零的那个数字就是两数的最大公约数。
小傅哥在这里提供了2种计算方式，一种是循环另外一种是递归。—— 方便很多看不懂递归的小伙伴可以用另外的方式学习。
1. 循环实现public long gcd01(long m, long n){ m = Math.abs(m); n = Math.abs(n); while (m != 0 && n != 0 && m != n) { if (m > n) { m = m - n; } else { n = n - m; } } return m == 0 ? n : m;}两数循环处理中，条件为m != 0 && n != 0 && m != n直至循环结束。2. 递归实现public long gcd02(long m, long n){ if (m < n) { long k = m; m = n; n = k; } if (m % n != 0) { long temp = m % n; return gcd02(n, temp); } else { return n; }}计算方式逻辑和条件是一样的，只不过这个是使用了递归调用的方式进行处理。3. 测试验证@Testpublic void test_euclidean() { Euclidean euclidean = new Euclidean(); System.out.println(euclidean.gcd01(124, 20)); System.out.println(euclidean.gcd02(124, 20));}测试结果
44Process finished with exit code 0计算 124 和 20 的最大公约数，两个计算方式结果都是 4 。好的，到这测试通过。这并不是一个很难的知识点，但当你做一些技术分享、答辩述职等时候，能这样用技术语言而不是大白话的讲述出来后，其实高度就有了。兄弟！
在 stackoverflow.com 看到一道问题：计算两个整数的最小公倍数的最有效方法是什么？
乍一看， 这能有啥。不就是计算下最小公倍数吗？但一想我脑袋中计算最小公倍数的方法；一种是在本子上通过短除法计算，另外一种是基于计算出的最大公约数，再使用公式：lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)求得最小公倍数。—— 计算最大公约数是基于欧几里德算法(辗转相除法)
那么这样的计算方法是不是最有效的方法，另外如果是同时计算多个整数的最小公倍数，要怎么处理？
其实编程的学习往往就是这样，留心处处都是学问，你总是需要从各种细小的点中，积累自己的技术思维广度和纵向探索深度。好啦，接下来小傅哥就给大家介绍几种用于计算最小公倍数的算法。
五、用公约数实现公式：lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)
public long lcm01(long m, long n){ return ((m == 0) || (n == 0)) ? 0 : Math.abs(m * n) / gcd(m, n);}private long gcd(long m, long n){ m = Math.abs(m); n = Math.abs(n); // 从一个数字中减去另一个数字，直到两个数字变得相同。 // 这将是 GCD。如果其中一个数字为零，也退出循环。 // https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm while (m != 0 && n != 0 && m != n) { if (m > n) { m = m - n; } else { n = n - m; } } return m == 0 ? n : m;}首先这里是一个比较简单的方式，基于两数乘积除以最大公约数，得到的结果就是最小公倍数。六、简单累加计算此计算方式为，在一组正整数数列中，通过找到最小的数字进行自身累加循环，直至所有数字相同时，则这个数字为最小公倍数。—— 你能代码实现一下吗？
public long lcm02(long... n) { long[] cache = n.clone(); // 以所有数字都相等作为条件 while (!isEquals(n)) { System.out.println(JSON.toJSONString(n)); long min = n[0]; int idx = 0; for (int i = 0; i < n.length; i++) { if (min > n[i]) { min = n[i]; idx = i; } } n[idx] = cache[idx] + min; } return n[0];}在代码实现中，首先要把n个整数数列进行克隆保存。因为每次相加的都是最初的这个数列里的数字值。接下来就是以所有数字都相等作为条件循环判断，不断地的累加最小的数值即可。最终返回的就是最小公倍数。七、表格推演计算表格计算方式为将一组数字以最小的质数2开始整除，直到不能被2整除后，用下一个质数3继续整除（剩余的数字中比大的最小的质数）直至所有数字都为1的时候结束。最终所有有效的质数乘积就是最小公倍数。—— 想想如果这让你用代码实现，你能肝出来吗？
public long lcm03(long... n) { Map> keys = new HashMap<>(); for (long key : n) { keys.put(key, new ArrayList() {{ add(key); }}); } System.out.print("执行表格计算：\r\nx "); long primality = 2, cachePrimality = primality, filterCount = 0, lcm = 1; // 以所有元素最后一位为1作为条件 while (filterCount != keys.size()) { int refresh = 0; filterCount = 0; for (Map.Entry> entry : keys.entrySet()) { long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1); if (value == 1) { filterCount++; } // 整除处理 if (value % primality == 0) { entry.getValue().add(value / primality); refresh++; } else { entry.getValue().add(value); } } // 刷新除数 if (refresh == 0) { for (Map.Entry> entry : keys.entrySet()) { long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1); // 找到下一个符合的素数 if (value > primality || (value < cachePrimality && value > primality)) { cachePrimality = value; } entry.getValue().remove(entry.getValue().size() - 1); } primality = cachePrimality; } else { // 累计乘积 lcm *= cachePrimality; System.out.print(cachePrimality + " "); } } keys.forEach((key, values) -> { System.out.println(); for (long v : values) { System.out.print(v + " "); } }); System.out.println("\r\n"); return lcm;} 在代码实现中我们通过 Map 作为表的key，Map 中的 List 作为表每一行数据。通过这样一个结构构建出一张表。接下来以所有元素最后一位为1作为条件循环处理数据，用最开始的2作为素数整除列表中的数据，并保存到下一组数列中。当2不能整除时，则刷新素数，选取另外一个列表中最小的素数作为除数继续。这个过程中会累计有效素数的乘积，这个乘积的最终结果就是最小公倍数。八、测试验证单元测试@Testpublic void test_euclidean() { LastCommonMultiple lastCommonMultiple = new LastCommonMultiple(); // System.out.println("最小公倍数：" + lastCommonMultiple.lcm01(2, 7)); System.out.println("最小公倍数：" + lastCommonMultiple.lcm02(3, 4, 6)); // System.out.println("最小公倍数：" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6)); System.out.println("最小公倍数：" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6, 8)); //System.out.println("最小公倍数：" + lastCommonMultiple.lcm03(4, 7, 12, 21, 42));}测试结果执行累加计算：[3,4,6][6,4,6][6,8,6][9,8,6][9,8,12][9,12,12]最小公倍数：12执行表格计算：x 2 2 2 3 3 3 3 3 1 4 2 1 1 1 6 3 3 3 1 8 4 2 1 1 最小公倍数：24到这里测试就结束了，本章一共介绍了三种计算最小公倍数的方法。那如果只让你看到逻辑，你能写出最终的代码吗？九、常见面试最大公约数的使用用途？如何使用代码实现最大公约数计算？你是否了解欧几里德算法？关于数论你还记得多少？RSA 加密算法为什么需要用到公约数计算？如何计算两数的最小公倍数？如果计算多个整数的最小公倍数？你能说一下具体如何实现这种X的计算流程吗？你知道最小公倍数计算的用途吗？What is the most efficient way to calculate the least common multiple of two integers?：https://stackoverflow.com/questions/3154454/what-is-the-most-efficient-way-to-calculate-the-least-common-multiple-of-two-int/3154503#3154503Least common multiple：https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multipleChebyshev function：https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_function欧几里德算法：https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm线性组合：https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination贝祖定理：https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity
