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Stackoverflow:计算两个整数的最小公倍数的最有效方法是什么?

2023-01-11 11:10:27来源:今日头条

一、前言

嘿,小傅哥怎么突然讲到最大公约数了?


【资料图】

这么想你肯定是没有好好阅读前面章节中小傅哥讲到的RSA算法,对于与欧拉结果计算的互为质数的公钥e,其实就需要使用到辗转相除法来计算出最大公约数。

放心,你所有写的代码,都是对数学逻辑的具体实现,无非是难易不同罢了。所以如果你真的想学好编程思维而不只是CRUD,那就要把数据结构、算法逻辑等根基打牢。

二、短除法

既然都说到这了,那你还记得怎么计算最大公约数吗,死鬼?

以上这种方式就是我们在上学阶段学习的,这种计算方式叫做短除法。

短除法:是算术中除法的算法,将除法转换成一连串的运算。短除法是由长除法简化而来,当中会用到心算,因此除数较小的除法比较适用短除法。对大部分的人而言,若除以12或12以下的数,可以用记忆中乘法表的内容,用心算来进行短除法。也有些人可以处理除数更大的短除法。—— 来自维基百科

三、欧几里德算法

短除法能解决计算最大公约数的问题,但放到程序编写中总是很别扭,总不能一个个数字去试算,这就显得很闹挺。其实除了短除法还有一种是计算公约数的办法,叫做欧几里德算法。

欧几里德算法:是计算两个整数(数字)的最大公约数【GCD(Greatest Common Divisor)】的有效方法,即能将它们整除而无余数的最大数。它以古希腊数学家 欧几里得的名字命名,欧几里德在他的几何原本(约公元前 300 年)中首次描述了它。它是算法的示例,是根据明确定义的规则执行计算的分步过程,并且是常用的最古老的算法之一。它可以用来减少分数到他们的最简单的形式,并且是许多其他数论和密码计算的一部分。—— 来自维基百科

GCD,代表了两个数字的最大公约数,GCD(X,Y) = Z,那么就表示 X 和 Y 的最大公约数是 Z。由欧几里德算法给出 GCD(X,Y) = GCD(Y,XmodY) —— mod 表示求模计算余数。

其实简单来说就是,X和Y的公约数是Z,那么Y和Z的公约数也是Z。24和18的最大公约数是6,那么18和6的公约数也是6。嘿,就这么一个事。但就因为有了这一样一条推论,让编程代码变得优雅舒服,只需要不断地将X、Y两数作差,就能计算最大公约数。

这让小傅哥想起,多年前上学时候,我也给出过一条推论;”任意一组所能构成等差数列的三个数字,所能组合出来的一个三位数,都能被3整除。“ 例如:等差数列16、31、46组合成三位数463116或者461631都能被3整除。

四、辗转相除法代码实现

欧几里德算法 = 辗转相除法法:https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm

在辗转相除法的实现中,计算最大公约数的方式,就是使用一个数字减去另外一个数字,直到两个数字相同或者有其中一个数字为0,那么最后不为零的那个数字就是两数的最大公约数。

小傅哥在这里提供了2种计算方式,一种是循环另外一种是递归。—— 方便很多看不懂递归的小伙伴可以用另外的方式学习。

1. 循环实现
public long gcd01(long m, long n){    m = Math.abs(m);    n = Math.abs(n);        while (m != 0 && n != 0 && m != n) {        if (m > n) {            m = m - n;        } else {            n = n - m;        }    }    return m == 0 ? n : m;}
两数循环处理中,条件为m != 0 && n != 0 && m != n直至循环结束。2. 递归实现
public long gcd02(long m, long n){    if (m < n) {        long k = m;        m = n;        n = k;    }    if (m % n != 0) {        long temp = m % n;        return gcd02(n, temp);    } else {        return n;    }}
计算方式逻辑和条件是一样的,只不过这个是使用了递归调用的方式进行处理。3. 测试验证
@Testpublic void test_euclidean() {    Euclidean euclidean = new Euclidean();    System.out.println(euclidean.gcd01(124, 20));    System.out.println(euclidean.gcd02(124, 20));}

测试结果

44Process finished with exit code 0
计算 124 和 20 的最大公约数,两个计算方式结果都是 4 。好的,到这测试通过。这并不是一个很难的知识点,但当你做一些技术分享、答辩述职等时候,能这样用技术语言而不是大白话的讲述出来后,其实高度就有了。兄弟!

在 stackoverflow.com 看到一道问题:计算两个整数的最小公倍数的最有效方法是什么?

乍一看, 这能有啥。不就是计算下最小公倍数吗?但一想我脑袋中计算最小公倍数的方法;一种是在本子上通过短除法计算,另外一种是基于计算出的最大公约数,再使用公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)求得最小公倍数。—— 计算最大公约数是基于欧几里德算法(辗转相除法)

那么这样的计算方法是不是最有效的方法,另外如果是同时计算多个整数的最小公倍数,要怎么处理?

其实编程的学习往往就是这样,留心处处都是学问,你总是需要从各种细小的点中,积累自己的技术思维广度和纵向探索深度。好啦,接下来小傅哥就给大家介绍几种用于计算最小公倍数的算法。

五、用公约数实现

公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)

public long lcm01(long m, long n){    return ((m == 0) || (n == 0)) ? 0 : Math.abs(m * n) / gcd(m, n);}private long gcd(long m, long n){    m = Math.abs(m);    n = Math.abs(n);    // 从一个数字中减去另一个数字,直到两个数字变得相同。    // 这将是 GCD。如果其中一个数字为零,也退出循环。    // https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm    while (m != 0 && n != 0 && m != n) {        if (m > n) {            m = m - n;        } else {            n = n - m;        }    }    return m == 0 ? n : m;}
首先这里是一个比较简单的方式,基于两数乘积除以最大公约数,得到的结果就是最小公倍数。六、简单累加计算

此计算方式为,在一组正整数数列中,通过找到最小的数字进行自身累加循环,直至所有数字相同时,则这个数字为最小公倍数。—— 你能代码实现一下吗?

public long lcm02(long... n) {    long[] cache = n.clone();    // 以所有数字都相等作为条件    while (!isEquals(n)) {        System.out.println(JSON.toJSONString(n));        long min = n[0];        int idx = 0;        for (int i = 0; i < n.length; i++) {            if (min > n[i]) {                min = n[i];                idx = i;            }        }        n[idx] = cache[idx] + min;    }    return n[0];}
在代码实现中,首先要把n个整数数列进行克隆保存。因为每次相加的都是最初的这个数列里的数字值。接下来就是以所有数字都相等作为条件循环判断,不断地的累加最小的数值即可。最终返回的就是最小公倍数。七、表格推演计算

表格计算方式为将一组数字以最小的质数2开始整除,直到不能被2整除后,用下一个质数3继续整除(剩余的数字中比大的最小的质数)直至所有数字都为1的时候结束。最终所有有效的质数乘积就是最小公倍数。—— 想想如果这让你用代码实现,你能肝出来吗?

public long lcm03(long... n) {    Map> keys = new HashMap<>();    for (long key : n) {        keys.put(key, new ArrayList() {{            add(key);        }});    }    System.out.print("执行表格计算:\r\nx ");    long primality = 2, cachePrimality = primality, filterCount = 0, lcm = 1;    // 以所有元素最后一位为1作为条件    while (filterCount != keys.size()) {        int refresh = 0;        filterCount = 0;        for (Map.Entry> entry : keys.entrySet()) {            long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1);            if (value == 1) {                filterCount++;            }            // 整除处理            if (value % primality == 0) {                entry.getValue().add(value / primality);                refresh++;            } else {                entry.getValue().add(value);            }        }        // 刷新除数        if (refresh == 0) {            for (Map.Entry> entry : keys.entrySet()) {                long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1);                // 找到下一个符合的素数                if (value > primality || (value < cachePrimality && value > primality)) {                    cachePrimality = value;                }                entry.getValue().remove(entry.getValue().size() - 1);            }            primality = cachePrimality;        } else {            // 累计乘积            lcm *= cachePrimality;            System.out.print(cachePrimality + " ");        }    }    keys.forEach((key, values) -> {        System.out.println();        for (long v : values) {            System.out.print(v + " ");        }    });    System.out.println("\r\n");    return lcm;}
在代码实现中我们通过 Map 作为表的key,Map 中的 List 作为表每一行数据。通过这样一个结构构建出一张表。接下来以所有元素最后一位为1作为条件循环处理数据,用最开始的2作为素数整除列表中的数据,并保存到下一组数列中。当2不能整除时,则刷新素数,选取另外一个列表中最小的素数作为除数继续。这个过程中会累计有效素数的乘积,这个乘积的最终结果就是最小公倍数。八、测试验证单元测试
@Testpublic void test_euclidean() {    LastCommonMultiple lastCommonMultiple = new LastCommonMultiple();    // System.out.println("最小公倍数:" + lastCommonMultiple.lcm01(2, 7));    System.out.println("最小公倍数:" + lastCommonMultiple.lcm02(3, 4, 6));    // System.out.println("最小公倍数:" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6));     System.out.println("最小公倍数:" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6, 8));   //System.out.println("最小公倍数:" + lastCommonMultiple.lcm03(4, 7, 12, 21, 42));}
测试结果
执行累加计算:[3,4,6][6,4,6][6,8,6][9,8,6][9,8,12][9,12,12]最小公倍数:12执行表格计算:x 2 2 2 3 3 3 3 3 1 4 2 1 1 1 6 3 3 3 1 8 4 2 1 1 最小公倍数:24
到这里测试就结束了,本章一共介绍了三种计算最小公倍数的方法。那如果只让你看到逻辑,你能写出最终的代码吗?九、常见面试最大公约数的使用用途?如何使用代码实现最大公约数计算?你是否了解欧几里德算法?关于数论你还记得多少?RSA 加密算法为什么需要用到公约数计算?如何计算两数的最小公倍数?如果计算多个整数的最小公倍数?你能说一下具体如何实现这种X的计算流程吗?你知道最小公倍数计算的用途吗?What is the most efficient way to calculate the least common multiple of two integers?:https://stackoverflow.com/questions/3154454/what-is-the-most-efficient-way-to-calculate-the-least-common-multiple-of-two-int/3154503#3154503Least common multiple:https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multipleChebyshev function:https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_function欧几里德算法:https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm线性组合:https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination贝祖定理:https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity​

关键词: 最小公倍数 欧几里德算法 计算方式 辗转相除法 测试结果

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